Question

已知數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，且a₂=7，a₅=1．
（1）求{a_n}的通項a_n；
（2）求數(shù)列{a_n}前多少項和最大．
（3）若b_n=a_n+2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）由a_n=-2n+11≥0，得a₅＞0，a₆＜0，由此能求出數(shù)列{a_n}前5和最大．
（3）由b_n=a_n+2ⁿ=2ⁿ-2n+11，知T_n=a₁+a₂+…+a_n+2+2²+2³+…+2ⁿ，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，且a₂=7，a₅=1，
∴

a1+d=7 a1+4d=1

，解得

a1=9 d=-2

，
∴a_n=9+（n-1）×（-2）=-2n+11．
（2）由a_n=-2n+11≥0，
得n≤

11

2

，
∴a₅＞0，a₆＜0，
∴數(shù)列{a_n}前5和最大．
（3）∵b_n=a_n+2ⁿ=2ⁿ-2n+11，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n+2+2²+2³+…+2ⁿ
=9n+

n(n-1)

2

×(-2)+

2(1-2n)

1-2

=10n-n²+2ⁿ⁺¹-2．…（10分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和最大時項數(shù)的求法，考查前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．