Question

已知結論：“正三角形中心到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍”．若把該結論推廣到空間，則有結論：

 

．

Answer 1

分析：這種類比的題目從平面上類比到空間中基本內容可以類比寫出，只是這里要用的幾倍要通過運算得到，因此畫出圖形，設出正四面體的棱長，在一系列等邊三角形和直角三角形中，主要應用勾股定理，求出中心到底面中心的距離和到頂點的距離，得到比值．

解答：解：設正四面體的棱長是1，中心O到底面中心F的距離是r，
在△BCD中，
BE=

3

2

，EF=

3

6

，BF=

3

3

，
OF=r，AO=BO=

6

3

-r
在直角三角形中，(

6

3

-r)2=r2+(

3

3

)2，
∴r=

6

12

，
∵AO=

6

3

-r=

6

3

-

6

12

=

6

4

，
∴

AO

OF

=3
∴類比平面上的結論，得到：正四面體的中心到頂點的距離是到對面中心距離的三倍．
故答案為：正四面體的中心到頂點的距離是到對面中心距離的三倍．

點評：本題考查利用類比的方法寫出從平面到空間的結論．這種類比解題時要注意若出現具體的數字，一定要通過運算得到準確的結果．