Question

拋物線的頂點在原點O，焦點為橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的右焦點F．
（1）求拋物線的方程；
（2）設點P在拋物線上運動，求P到直線y=x+3的距離的最小值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由已知得到焦點F（1，0），可得

p

2

=1，進而得到拋物線方程；
（2）解法1：設P（x，y），利用P到直線y=x+3的距離d=

|x-y+3|

2

，又y²=4x，利用點到直線的距離公式及二次函數的性質即可得d=

| y2 4 -y+3|

2

=

|y2-4y+12|

4 2

=

(y-2)2+8

4 2

≥

8

4 2

=

2

．
解法2：設l與直線y=x+3平行且與拋物線相切，即l：y=x+b，由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，因為△=（2b-4）²-4b²=0，即可得到b，進而得出切點和距離．

解答：解：（1）由題知F（1，0）
∴拋物線方程：y²=4x．
（2）解法1：設P（x，y），
則P到直線y=x+3的距離d=

|x-y+3|

2

，又y²=4x
∴d=

| y2 4 -y+3|

2

=

|y2-4y+12|

4 2

=

(y-2)2+8

4 2

≥

8

4 2

=

2

．
∴當P（1，2）時，dmin=

2

．
解法2：設l與直線y=x+3平行且與拋物線相切，
即l：y=x+b，由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，∵△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1
此時切點P（1，2），P到直線y=x+3的距離最小為

|3-1|

2

=

2

．

點評：本題中考查了橢圓及拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相切問題轉化為與橢圓的方程聯立得到判別式△=0或利用點到直線的距離公式及二次函數的單調性即可得出等基礎知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．