Question

【題目】若定義在R上的函數，其圖像是連續不斷的，且存在常數使得對任意實數x都成立，則稱是一個“k～特征函數”．則下列結論中正確命題序號為____________.

①是一個“k～特征函數”；②不是“k～特征函數”；

③是常數函數中唯一的“k～特征函數”；④“～特征函數”至少有一個零點；

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據題意：依次檢驗定義域，連續性，是否存在常數使得對任意實數x都成立即可.

①，考慮即：，，

考慮，必存在使，

即存在，使得對任意實數x都成立，所以①正確；

②，討論，即

當時，關于的方程無解，

不存在使對任意實數x都成立，

所以不是“k～特征函數”，所以②正確；

③設常數函數，討論，即，

當時對任意實數x都成立，所以任何一個常數函數都可以是“-1～特征函數”，

所以③錯誤；

④設是“～特征函數”， 則是定義在R上的連續函數，

且對任意實數x都成立，

下面利用反證法證明必有零點：

證明：假設沒有零點，因為是定義在R上的連續函數，則恒成立，或恒成立；

當恒成立，則，，與題矛盾；

當恒成立，則，，與題矛盾；

所以必有零點，所以④正確.

故答案為：①②④