Question

(本小題滿分12分)
橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合,且截拋物線的準線所得弦長為,傾斜角為的直線過點. 
（1）求該橢圓的方程；
（2）設橢圓的另一個焦點為,問拋物線上是否存在一點,使得與關于直線對稱,若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.

Answer 1

解：（1）拋物線的焦點為,準線方程為,
∴      ①    
又橢圓截拋物線的準線所得弦長為,  ∴ 得上交點為,
∴    ②…………………4分
由①代入②得,解得或（舍去）,
從而   
∴  該橢圓的方程為該橢圓的方程為 
（2）∵ 傾斜角為的直線過點,
∴ 直線的方程為,即,
由（1）知橢圓的另一個焦點為,設與關于直線對稱,
則得   ……10分 解得,即   
又滿足,故點在拋物線上。
所以拋物線上存在一點,使得與關于直線對稱。

略