Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點.

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直線DH與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）答案詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）要證明平面，只需證明垂直于面內的兩條相交相交直線，由是菱形，故，再證明，從而可證明平面；（Ⅱ）由已知，選三條兩兩垂直的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，表示相關點的坐標，求直線的方向向量坐標，以及面法向量的坐標，設直線與平面所成角為，則；（Ⅲ）先求二面角兩個半平面的法向量，再求法向量的夾角，通過觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，決定二面角余弦值的正負，該題中面的法向量就是，只需求面
的法向量即可.
試題解析：（Ⅰ）證明：因為四邊形是菱形，所以 .
因為平面平面，且四邊形是矩形，所以平面，
又因為平面，所以 . 因為 ，所以 平面.
（Ⅱ）解：設，取的中點，連接，因為四邊形是矩形，分別為的中點，所以 ，又因為 平面，所以 平面，由，得兩兩垂直.所以以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系.因為底面是邊長為2的菱形，，，
所以 ，，，，，，.   
因為 平面， 所以平面的法向量. 設直線與平面所成角為，由， 得 ，所以直線與平面所成角的正弦值為.
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.設平面的法向量為，
所以  即
令，得. 由平面，得平面的法向量為，
則. 由圖可知二面角為銳角，
所以二面角的大小為.