Question

【題目】已知拋物線Ω：x2=2py（p＞0），過點（0，2p）的直線與拋物線Ω交于A、B兩點，AB的中點為M，若點M到直線y=2x的最小距離為 ，則p=（　　）
A.
B.1
C.
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由題意可知，設過點（0，2p）的直線方程為y=kx+2p，且與拋物線的交點A（x1，y1），（x2，y2），

由 ，消去y得x2﹣2pkx﹣4p2=0，

∴x1+x2=2pk，

∴ （x1+x2）=pk，

∴y1+y2=k（x1+x2）+4p=2pk2+4p，

∴ （y1+y2）=pk2+2p，

∴A，B的中點坐標為（pk，pk2+2p），

∴點M到直線y=2x的距離為： = ，

∴即k=0時，點M到直線的距離最小，此時p= ，

所以答案是：A．