Question

如圖，已知三棱錐P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D為AB中點，M為PB中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC。
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（1）求證：DM∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（3）求三棱錐M－BCD的體積

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析，（3）

試題分析：（1）證線面平行找線線平行，本題有中點條件，可利用中位線性質.即DM∥AP，寫定理條件時需完整，因為若缺少DM面APC，，則DM可能在面PAC內，若缺少AP面APC，則DM與面PAC位置關系不定.（2）證面面垂直關鍵找線面垂直.可由面面垂直性質定理探討，因為BC垂直AC,而AC為兩平面的交線,所以應有BC垂直于平面PAC，這就是本題證明的首要目標.因為BC垂直AC,因此只需證明BC垂直平面PAC另一條直線.這又要利用線面垂直與線線垂直關系轉化.首先將題目中等量關系轉化為垂直條件,即DM⊥PB，從而有PA⊥PB，而PA⊥PC，所以PA⊥面PBC，因此PA⊥BC.（3）求錐的體積關鍵找出高，有（2）有PA⊥面PBC，因此DM為高，利用體積公式可求得
試題解析：（1）D為AB中點，M為PB中點
DM∥AP
又DM面APC，AP面APC
DM∥面PAC
（2）△PDB是正三角形，M為PB中點
DM⊥PB，又DM∥AP，PA⊥PB
又PA⊥PC，PBPC＝P，PA⊥面PBC
又BC面PBC，PA⊥BC
又∠ACB＝90°，BC⊥AC
又ACPA＝A，BC⊥面PAC
又BC面ABC,面PAC⊥面ABC
（3）AB＝20，D為AB中點，AP⊥面PBC
PD＝10
又△PDB為正三角形，DM＝5
又BC＝4，PB＝10，PC＝2
S△PBC＝