Question

【題目】已知方程的曲線是圓．

（1）求實數的取值范圍；

（2）若直線與圓相交于、兩點，且（為坐標原點），求實數的值；

（3）當時，設為直線上的動點，過作圓的兩條切線、，切點分別為、，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）實數的值等于（3）四邊形面積的最小值為

【解析】

（1）圓方程化為標準方程，即可求解；

（2）聯立直線與圓方程，消元整理為一元二次方程，進一步根據根與系數的關系以及向量垂直的充要條件，即可求解；

（3）為圓的半徑），要求四邊形面積的最小值，只需求出長最小，即可求解.

（1）解：由，

得．

由解得．

所以所求實數的取值范圍是．

（2）解：聯立，

得．

由，解得．

設，則，

，

且，

即．

因為，則得，

所以①

代入①得，

解得，符合題意．

所以所求實數的值等于．

（3）解法一：當時，圓的方程為，

即，所以圓的圓心坐標是，半徑是．

由于、為圓的兩條切線，

所以．

又，

而的最小值為點到直線的距離．

因為，所以．

因此四邊形面積的最小值是．

解法二：當時，圓的方程是，

即，所以圓的圓心坐標是，半徑是．

由于、為圓的兩條切線，

所以．

又．

設點的坐標為，則，即，

所以，即，

即，即．

當，時，．

所以．

因此四邊形面積的最小值為