Question

【題目】（本題滿分12分）已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．

（Ⅰ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）能，或．

【解析】

試題分析：（1）設直線 ，直線方程與橢圓方程聯立，根據韋達定理求根與系數的關系，并表示直線的斜率，再表示；

（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程為．設點的橫坐標為，直線與橢圓方程聯立求點的坐標，第二步再整理點的坐標，如果能構成平行四邊形，只需，如果有值，并且滿足，的條件就說明存在，否則不存在.

試題解析：解：(1)設直線 ，，，．

∴由得，

∴，．

∴直線的斜率，即．

即直線的斜率與的斜率的乘積為定值．

（2）四邊形能為平行四邊形．

∵直線過點，∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是，

由 (Ⅰ)得的方程為．設點的橫坐標為．

∴由得，即

將點的坐標代入直線的方程得，因此．

四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分，即

∴ ．解得，．

∵，，，

∴當的斜率為或時，四邊形為平行四邊形．