Question

已知函數f（x）的定義域為R，若存在常數m＞0，對任意x∈R，有|f（x）|＜m|x|，則稱f（x）為F函數．給出下列函數：①f（x）=x²；②f（x）=sinx+cosx；③f(x)=

x

x2+x+1

；④f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函數的序號為（　　）

A．②④

B．①③

C．③④

D．①②

Answer 1

對于①，|f（x）|＜m|x|，顯然不成立，故其不是F函數；
對于②，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函數；
對于③，f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函數；
對于④，f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0，由奇函數的性質知，f（0）=0，故有|f（x）|＜2|x|．顯然是F函數
故選C