Question

在數列{a_n}中，a₁=0，且對任意k∈N*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，其公差為2k，
(Ⅰ)證明：a₄，a₅，a₆成等比數列；
(Ⅱ)求數列{a_n}的通項公式；
(Ⅲ)記，證明。

Answer 1

解：(Ⅰ)證明：由題設可知，a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，a4=a3+4=8，
a₅=a₄+4=12，a₆=a₅+6=18，
從而， 所以a₄，a₅，a₆成等比數列．
(Ⅱ)由題設，可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N*，
所以a_2k+1-a₁=(a_2k+1-a_2k-1)+(a_2k-1-a_2k-3)+…+(a₃-a₁)
=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1），k∈N*，
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+l），
從而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，
所以數列{an}的通項公式為或寫為。
(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)可知a_2k+1=2k(k+1)，a_2k=2k²，
以下分兩種情況進行討論：
(1)當n為偶數時，設n=2m(m∈N*)，
若m=1，則，
若m≥2，則


，
所以，，
從而，n=4，6，8，……
（2）當n為奇數時，設n=2m+1（m∈N*），

，
所以，
從而，n=3，5，7，……
綜合（1）和（2）可知，對任意n≥2，n∈N*，有。