Question

已知函數f（x）=x³+x-16．
（1）求曲線y=f（x）在點（2，-6）處的切線方程；
（2）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標．

Answer 1

（1）∵f'（x）=（x³+x-16）'=3x²+1，
∴在點（2，-6）處的切線的斜率k=f^′（2）=3×2²+1=13，
∴切線的方程為y=13x-32．
（2）設切點為（x₀，y₀），則直線l的斜率為f'（x₀）=3x₀²+1，
∴直線l的方程為y=（3x₀²+1）（x-x₀）+x₀³+x₀-16．
又∵直線l過點（0，0），∴0=（3x₀²+1）（-x₀）+x₀³+x₀-16，
整理，得x₀³=-8，∴x₀=-2，∴y₀=（-2）³+（-2）-16=-26，直線l的斜率k=3×（-2）²+1=13，
∴直線l的方程為y=13x，切點坐標為（-2，-26）．