Question

【題目】設函數f(x)＝ln x－ax(a∈R)(e＝2.718 28…是自然對數的底數)．

(1)判斷f(x)的單調性；

(2)當f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立時，求a的取值范圍；

(3)證明：當x∈(0，＋∞)時， (1＋x) <e.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)f′(x)＝－a，函數f(x)＝ln x－ax的定義域為(0，＋∞)，

當a≤0時，f′(x)>0，此時f(x)在(0，＋∞)上是增函數，

當a>0時，x∈時，f′(x)>0，此時f(x)在上是增函數，x∈時，f′(x)<0，此時f(x)在上是減函數．

綜上，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數，當a>0時，f(x)在上是增函數，在上是減函數．

(2)f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即a>在(0，＋∞)上恒成立，

設g(x)＝，則g′(x)＝，

當x∈(0，e)時，g′(x)>0，g(x)為增函數，當x∈(e，＋∞)時，g′(x)<0，g(x)為減函數，

故當x＝e時，g(x)取得最大值，

所以a的取值范圍是.

(3)證明：要證當x∈(0，＋∞)時， (1＋x) <e，設t＝1＋x，t∈(1，＋∞)，只要證t<et，兩邊取以e為底數的對數，即ln t<t－1.

由(1)知當a＝1時，f(x)＝ln x－x的最大值為－1，此時x＝1，所以當t∈(1，＋∞)時，ln t－t<－1，

即得ln t<t－1，所以原不等式成立．