Question

已知等差數列的首項為a，公差為b，等比數列的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且．

（1）求a的值；

    （2）若對于任意的，總存在，使得成立，求b的值；

    （3）令，問數列中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）2（2）5（3）當時，不存在連續三項成等比數列；當時，數列中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，50．

解析:

（1）由已知，得．由，得．

因a，b都為大于1的正整數，故a≥2．又，故b≥3．再由，得    ．

由，故，即．

由b≥3，故，解得．  于是，根據，可得．

（2）由，對于任意的，均存在，使得，則

．

又，由數的整除性，得b是5的約數．

故，b=5．

所以b=5時，存在正自然數滿足題意．

（3）設數列中，成等比數列，由，，得

．

化簡，得．     （※）  

當時，時，等式（※）成立，而，不成立．

當時，時，等式（※）成立．當時，，這與b≥3矛盾．

這時等式（※）不成立．

綜上所述，當時，不存在連續三項成等比數列；當時，數列中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，50．