Question

【題目】（本小題滿分13分） 已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 雙曲線方程為(Ⅱ) 滿足條件的直線l有兩條，基方程分別為y=和y=

【解析】

試題（1）由雙曲線焦點可得值，進而可得到的關系式，將點P代入雙曲線可得到的關系式，解方程組可求得值，從而確定雙曲線方程；（2）求直線方程采用待定系數法，首先設出方程的點斜式，與雙曲線聯立，求得相交的弦長和O到直線的距離，代入面積公式可得到直線的斜率，求得直線方程

試題解析：（1）由已知及點在雙曲線上得

解得；所以，雙曲線的方程為．

（2）由題意直線的斜率存在，故設直線的方程為

由 得 設直線與雙曲線交于、，則、是上方程的兩不等實根，

且即且 ①

這時 ，

又

即

所以 即

又 適合①式

所以，直線的方程為與．

另解：求出及原點到直線的距離,利用求解． 或求出直線與軸的交點，利用

求解