Question

【題目】已知由自然數組成的元集合，非空集合,且對任意的，都有.

(1)當時，求所有滿足條件的集合;

(2)當時，求所有滿足條件的集合的元素總和;

(3)定義一個集合的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該集合的元素，然后從最大數開始交替地減、加后繼的數.例如集合的交替和是，集合的交替和為.當時，求所有滿足條件的集合的“交替和”的總和.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）

【解析】

（1）確定后可知有偶數個元素，分別討論兩個元素和四個元素的情況即可得到結果；

（2）確定可知有偶數個元素，分別在兩個、四個、六個和八個元素的情況下求解元素之和，加和得到結果；

（3）由、和時交替和總和的規律可得到當時，交替和總和為，代入即可求得結果.

（1）當時，

是的非空子集，且時， 中有偶數個元素

中有兩個元素時，或中有四個元素時，

所有滿足條件的集合有：，，

（2）當時，

是的非空子集，且時， 中有偶數個元素

當中有兩個元素時，元素之和為：

當中有四個元素時，元素之和為：

當中有六個元素時，元素之和為：

當中有八個元素時，元素之和為：

所有滿足條件的集合的元素總和為：

（3）當，，交替和的總和為：

當時，由（1）知，交替和的總和為：

當時，或或或或或或，交替和的總和為：

……以此類推，當時，交替和的總和為：

當時， 所求交替和的總和為：