Question

已知曲線的直角坐標(biāo)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.是曲線上一點(diǎn)，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡是曲線.
（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程.
（Ⅱ）求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）＝＋，（Ⅱ）[2，4]

解析試題分析：（Ⅰ）先將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，設(shè)M(ρ，θ)，根據(jù)知，Q（，θ)，由是曲線上一點(diǎn)，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到點(diǎn)知，P（，），代入曲線的極坐標(biāo)方程即得到曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線的極坐標(biāo)方程為）＝＋，所以=＝ (1＋3sin²)，先求的取值范圍，利用不等式的性質(zhì)，即可求出|OM|的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為＋ρ²sin²θ＝1，即＋sin²θ＝．
在極坐標(biāo)系中，設(shè)M(ρ，θ)，P(ρ₁，α)，則
題設(shè)可知，ρ₁＝，α＝.                ①
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C₁上，所以＋sin²α＝        ②
由①②得曲線C₂的極坐標(biāo)方程為＝＋.        6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
＝ (1＋3sin²)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/49/e5/497e5883e8a1d794b7b5257488f9807e.png" style="vertical-align:middle;" />的取值范圍是[，]，所以|OM|的取值范圍是[2，4].   10分
考點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化，相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程，函數(shù)的值域