Question

己知函數f（x）=x²e^-x
（Ⅰ）求f（x）的極小值和極大值；
（Ⅱ）當曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數時，求l在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則即可得出f^′（x），利用導數與函數單調性的關系及函數的極值點的定義，即可求出函數的極值；
（Ⅱ）利用導數的幾何意義即可得到切線的斜率，得出切線的方程，利用方程求出與x軸交點的橫坐標，再利用導數研究函數的單調性、極值、最值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²e^-x，∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函數在區間（-∞，0）與（2，+∞）上是減函數，在區間（0，2）上是增函數．
∴x=0是極小值點，x=2極大值點，又f（0）=0，f（2）=．
故f（x）的極小值和極大值分別為0，．
（II）設切點為（），
則切線方程為y-=（x-x），
令y=0，解得x==，
因為曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數，∴（＜0，∴x＜0或x＞2，
令，
則=．
①當x＜0時，0，即f^′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，∴f（x）＜f（0）=0；
②當x＞2時，令f^′（x）=0，解得．
當時，f^′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；當時，f^′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．
故當時，函數f（x）取得極小值，也即最小值，且=．
綜上可知：切線l在x軸上截距的取值范圍是（-∞，0）∪．
點評：本題考查利用導數求函數的極值與利用導數研究函數的單調性、切線、函數的值域，綜合性強，考查了推理能力和計算能力．