Question

【題目】已知f（x）是R上的奇函數且單調遞增，則下列函數是偶函數且在（0，+∞）上單調遞增的有（　　）

①y＝|f（x）|；

②y＝f（x2+x）；

③y＝f（|x|）；

④y＝ef（x）+e﹣f（x）．

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由已知可得f（x）是R上的奇函數且單調遞增，當x＞0時，f（x）＞f（0）＝0，然后結合函數的性質分別進行檢驗即可．

因為f（x）是R上的奇函數且單調遞增，

故當x＞0時，f（x）＞f（0）＝0，

①g（﹣x）＝|f（﹣x）|＝|f（x）|＝g（x）為偶函數，且當x＞0時，g（x）＝|f（x）|＝f（x）單調遞增，符合題意；

②g（﹣x）＝f（x2﹣x）≠g（x），故不滿足偶函數；

③g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|）＝g（x）為偶函數，且 x＞0時g（x）＝f（x）單調遞增，符合題意；

④g（﹣x）＝ef（﹣x）+e﹣f（﹣x）＝e﹣f（x）+ef（x）＝g（x），滿足偶函數，且x＞0時，f（x）＞0，ef（x）＞1，因為 在 單調遞增，

由復合函數的單調性可知g（x）＝ef（x）+e﹣f（x）單調遞增，符合題意．

故選：B．

本題主要考查函數的奇偶性和單調性的應用，還考查了轉化求解問題的能力，屬于中檔題.