Question

己知函數f(x)=log3

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象點的兩點，橫坐標為

1

2

的點P是M，N的中點．
（1）求證：y₁+y₂的定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)(n∈N*，n≥2)，an=

1 6 ，n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

(n∈N*)，T_n為數列{a_n}前n項和，當T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N*都成立時，試求實數m的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設bn=

1

4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1

，B_n為數列{b_n}前n項和，證明：Bn＜

17

52

．

Answer 1

分析：（1）由已知得，x₁+x₂=1，由對數的計算公式代入可求結果；（2）由y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1可知，只需用倒序相加法的方式即可求得Sn，進而可得a_n，Tn，下面由恒成立問題的求法可得；（3）由前面的解答可得Sn+1=

n

2

，Sn+2=

n+1

2

，代入可得b_n，由不等式的放縮法和裂項相消法可證．

解答：解：（1）由已知得，x₁+x₂=1
∴y₁+y₂=log3

3 x1

1-x1

+log3

3 x2

1-x2

=log3

3 x1

1-x1

•

3 x2

1-x2

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=1
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1
Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)   ①
Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

1

n

)   ②
①+②得Sn=

n-1

2

，
當n≥2時，an=

1

4× n+1 2 n+2 2

=

1

n+1

-

1

n+2

又當n=1時，a1=

1

6

也適合上式，故an=

1

n+1

-

1

n+2

故T_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

n

2(n+2)

∵T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N*都成立
即m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

恒成立，
又

n

(n+2)2

=

1

n+ 4 n +4

≤

1

8

，
所以實數m的取值范圍為：（

1

8

，+∞）
（3）因為Sn+1=

n

2

，Sn+2=

n+1

2

，
所以bn=

1

4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1

=

1

(n+2)(n+3)+1

＜

1

n+2

-

1

n+3

故B_n=b1+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+2

-

1

n+3

)
=

1

13

+

1

4

-

1

n+3

＜

17

52

點評：本題為數列的綜合應用，涉及函數與不等式的內容，其中列項求和及不等式的放縮法是解決問題的關鍵，屬中檔題．