Question

已知函數f（x）=asinx+acosx+1-a，a∈R，x∈[0，

π

2

]．
（I）求f（x）的對稱軸方程；
（II）若f（x）的最大值為

2

，求a的值及此時對應x的值；
（III）若定義在非零實數集上的奇函數g（x）在（0，+∞）上是增函數，且g（2）=0，求當g[f（x）]＜0恒成立時，實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=asinx+acosx+1-a，a∈R，x∈[0，

π

2

]化為f(x)=

2

asin(x+

π

4

) +1-a，對a分類討論可求f（x）的對稱軸方程；
（2）由x∈[0，

π

2

]，可求x+

π

4

∈ [

π

4

，

3π

4

]，，從而可求sin(x+

π

4

) ∈[

2

2

，1]，結合題意可求a的值及此時對應x的值；
（3）由題意知f（x）＜-2 或0＜f（x）＜2，再對a分類討論解決．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

2

asin(x+

π

4

) +1-a，
當a≠0時x+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)，又x∈[0，

π

2

]∴x=

π

4

；
當a=0時，f（x）=1，又x∈[0，

π

2

]∴x=

π

4

．
（Ⅱ）x∈[0，

π

2

]∴x+

π

4

∈ [

π

4

，

3π

4

]，∴sin(x+

π

4

) ∈[

2

2

，1]，
1）當a＞0時f(x)max=

2

a+1-a=

2，

∴a=1，x=

π

4

；
2）當a＜0f(x)max=

2

a•

2

2

+1-a=

2

，則1=

2

，此情況不成立；
3）當a=0時f（x）_max=1，此情況不成立∴a=1，x=

π

4

．
（Ⅲ）由題意知f（x）＜-2 或0＜f（x）＜2，
1）當a＞0時，f(x)max=

2

a+1-a＜2，⇒0＜a＜1+

2

，f（x）_min=1＞0或f（x）_min＜-2（舍）；
2）當a＜0時，f（x）_max=1＜2，f(x)min=

2

a+1-a＞0（舍）；
3）當a=0時f（x）=1，滿足
∴實a的取值范圍-

2

-1＜a＜1+ 

2

．

點評：本題考查三角函數的最值，重點考查學生輔助角公式的應用，考查正弦函數的性質，分類討論與轉化的思想，綜合性強，在三角部分屬于難題．