Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）若二面角大小為，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）根據面面垂直的性質定理得到平面，又因為，所以平面，而平面，所以面面垂直；

（2）根據圖像以Q為原點建立空間直角坐標系，分別為軸，將異面直線所成角轉化為;

（3）根據點C，M，P三點共線，設的坐標，然后求兩個平面的法向量，解得，最后代入模的公式．

試題解析：（1）證明：∵ADBC，，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形， ∴CDBQ．

∵∠ADC， ∴∠AQB，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB， ∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵PA=PD，Q為AD的中點， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖2，以Q為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，∵M是PC的中點，∴，

∴．

設異面直線AP與BM所成角為，

則=

∴異面直線AP與BM所成角的余弦值為．

（3）解：由（Ⅱ）知平面BQC的法向量為，

由C、M、P三點共線得，且， 從而有，

又，設平面MBQ法向量為，

由可取．

∵二面角MBQC為30°，∴，∴，∴．