Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA1=1，D和E分別為棱AC、AB上的動點（不包括端點），若C₁E⊥B₁D，則線段DE長度的取值范圍為（　　）

• A．[

  2

  2

  ，

  3

  2

  ]
• B．[

  3

  3

  ，1)
• C．[

  2

  2

  ，1)
• D．[

  2

  3

  ，

  2

  2

  ]

Answer 1

分析：由題設(shè)條件分別以AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸，作空間直角坐標(biāo)系，則B₁（1，0，1），C₁（0，1，1），設(shè)E（t₁，0，0），D（0，t₂，0），t₁，t₂∈（0，1），則

C1E

=(t1，-1，-1)，

B1D

=(-1，t2，-1)，再由C₁E⊥B₁D，得t₁+t₂=1．由

DE

=(t1，-t2，0)，知|

DE

| =

x12+x22

=

x1 2+(1-x1)2

=

2(t1- 1 2 )2+ 1 2

，由此能求出線段DE長度的取值范圍．

解答：解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA1=1，D和E分別為棱AC、AB上的動點（不包括端點），
∴分別以AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸，作空間直角坐標(biāo)系，
則B₁（1，0，1），C₁（0，1，1），
設(shè)E（t₁，0，0），D（0，t₂，0），t₁，t₂∈（0，1），
則

C1E

=(t1，-1，-1)，

B1D

=(-1，t2，-1)，
∵C₁E⊥B₁D，
∴-t₁-t₂+1=0，
即t₁+t₂=1．
∵

DE

=(t1，-t2，0)，
∴|

DE

| =

t12+t22

=

t12+(1-t1)2

=

2(t1- 1 2 )2+ 1 2

，
∵0＜t₁＜1，
∴當(dāng)t1=

1

2

時，|

DE

|min=

1 2

=

2

2

，
當(dāng)

lim

t→1

|

DE

| =

lim

t→1

2(t1-  1 2 )2 + 1 2

=1．
∴線段DE長度的取值范圍為[

2

2

，1）．
故選C．

點評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．