Question

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有兩個動點E，F，且EF=a （a為常數）．
（Ⅰ）在平面ABC內確定一條直線，使該直線與直線CE垂直；
（Ⅱ）判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值．若是定值，求出這個三棱錐的體積；若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先取AC中點D，連接BD．利用△ABC為等腰三角形，得出BD⊥AC，再根據ABC-A′B′C′是直三棱柱，得到BD⊥AA′，利用線面垂直的判定定理得直線BD⊥平面ACC′A′從而有BD⊥CE，故直線BD即為所求．
（Ⅱ）根據ABC-A′B′C′是直三棱柱，有CC′⊥平面A′B′C′，利用線面垂直的性質定理得到CC′⊥EF，從而有△CEF的邊EF上的高為線段CC′，從而得到△CEF的面積S是常數，由（Ⅰ）可知，BD⊥平面ACC′A′，故BD為三棱錐B-CEF的高，最后利用三棱錐的體積公式求出三棱錐B-CEF的體積V為定值．

解答：解：（Ⅰ）取AC中點D，連接BD．
∵AB=BC，∴△ABC為等腰三角形，D為底邊AC中點，∴BD⊥AC．
∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，∴AA′⊥平面ABC，
∵BD?平面ABC，∴BD⊥AA′．
又AA′∩AC=A，∴直線BD⊥平面ACC′A′．
∵CE?平面ACC′A′，∴BD⊥CE
∴直線BD即為所求．------（5分）
（Ⅱ）∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，
∴CC′⊥平面A′B′C′，
∵EF?平面A′B′C′，∴CC′⊥EF
∴△CEF的邊EF上的高為線段CC′，
由已知條件得CC′=AA′=1，且EF=a（常數），
故△CEF的面積S=

1

2

EF•CC′=

1

2

a
由（Ⅰ）可知，BD⊥平面ACC′A′，故BD為三棱錐B-CEF的高．
在等腰三角形ABC中，可求得BD=

2

2

，
∴三棱錐B-CEF的體積V=

1

3

S•BD=

2

12

a為定值．------（10分）

點評：本題主要考查了線面平行與線面垂直的判定定理的應用，注意線線關系與線面關系的相互轉化，本題主要考查了應用面面垂直的性質證明線面垂直，以及三棱錐體積公式的應用．