Question

設f(x)=

ax+a-x

2

，g(x)=

ax-a-x

2

（其中a＞0，且a≠1）．
（1）5=2+3請你推測g（5）能否用f（2），f（3），g（2），g（3）來表示；
（2）如果（1）中獲得了一個結論，請你推測能否將其推廣．

Answer 1

分析：（1）先寫出g（5）=

a5-a-5

2

再探究用f（2），f（3），g（2），g（3）來表示它．
（2）考查（1）中的結論，觀察自變量之間的關系，得出不念舊惡猜想，再進行驗證證明．

解答：解：（1）由f（3）g（2）+f（2）g（3）=

a3+a-3

2

×

a2-a-2

2

+

a2+a-2

2

×

a3-a-3

2

=

a5-a-5

2

，
又g（5）=

a5-a-5

2

，
因此 g（5）=f（3）g（2）+f（2）g（3）．
（2）由 g（5）=f（3）g（2）+f（2）g（3），即g（2+3）=f（3）g（2）+f（2）g（3），
于是推測g（x+y）=f（y）g（x）+f（x）g（y），
證明：因為f(x)=

ax+a-x

2

，g(x)=

ax-a-x

2

（大前提）．
所以g(x+y)=

ax+y-a-(x+y)

2

，g(y)=

ay-a-y

2

，f(y)=

ay+a-y

2

，（小前提及結論）
所以
f（x）g（y）+f（y）g（x）=

ax+a-x

2

×

ay-a-y

2

+

ay+a-y

2

×

ax-a-x

2

點評：本題考查歸納推理，求解的關鍵是根據題設中的條件總結出規律并加以規范．歸納推理的結論不一定正確，作為發現新問題，發現新規律思維方式，歸納推理應用很廣泛．