Question

若函數(shù)y=f（x），x∈D同時(shí)滿足下列條件，（1）在D內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；（2）存在實(shí)數(shù)m，n．當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，y∈[m，n]，則稱此函數(shù)為D內(nèi)等射函數(shù)，設(shè)f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1）則：
（1）f（x）在（-∞，+∞）的單調(diào)性為_(kāi)_____；
（2）當(dāng)f（x）為R內(nèi)的等射函數(shù)時(shí)，a的取值范圍是______．

Answer 1

（1）∵f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1），
∴f′(x)=

1

lna

•lna•ax=a^x＞0，
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）∵f（x）為等射函數(shù)，
∴f（x）=

ax+a-3

lna

=x有兩個(gè)不等實(shí)根，
即a^x-xlna+a-3=0有兩個(gè)不等實(shí)根，
令g（x）=a^x-xlna+a-3，
∴g′（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1），
令g′（x）=0，得x=0．
①當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0時(shí)，g′（x）＞0，x＜0時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0，
∴a＜2，
故1＜a＜2；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞0時(shí)，g′（x）＞0，x＜0時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴0＜a＜1．
綜上所述，a∈（0，1）∪（1，2）．
故答案為：增函數(shù)，（0，1）∪（1，2）．