Question

已知直線l：y=kx+1，橢圓E：．
（Ⅰ）若不論k取何值，直線l與橢圓E恒有公共點，試求出m的取值范圍及橢圓離心率e關于m的函數關系式；
（Ⅱ）當時，直線l與橢圓E相交于A，B兩點，與y軸交于點M．若，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由直線l恒過定點M（0，1），且直線l與橢圓E恒有公共點，知點M（0，1）在橢圓E上或其內部，得，由此能求出求出m的取值范圍及橢圓離心率e關于m的函數關系式．
（Ⅱ）由，消去y得．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，．M（0，1），由得x₁=-2x₂．由此得．從而得到橢圓E的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵直線l恒過定點M（0，1），且直線l與橢圓E恒有公共點，
∴點M（0，1）在橢圓E上或其內部，得，
解得m≥1，且m≠3．（3分）
（聯立方程組，用判別式法也可）
當1≤m＜3時，橢圓的焦點在x軸上，；
當m＞3時，橢圓的焦點在y軸上，．
∴（6分）
（Ⅱ）由，消去y得．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則①，②．
∵M（0，1），∴由得x₁=-2x₂③．（9分）
由①③得④．
將③④代入②得，，解得m²=6（m²=-15不合題意，舍去）．
∴橢圓E的方程為．（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法和求出m的取值范圍及橢圓離心率e關于m的函數關系式．解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，提高解題能力和解題技巧．