Question

橢圓的方程為，離心率為，且短軸一端點和兩焦點構成的三角形面積為1，拋物線的方程為，拋物線的焦點F與橢圓的一個頂點重合.
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）過點F的直線交拋物線于不同兩點A,B，交y軸于點N，已知的值.
（3）直線交橢圓于不同兩點P,Q，P,Q在x軸上的射影分別為P′,Q′，滿足(O為原點)，若點S滿足，判定點S是否在橢圓上，并說明理由.

Answer 1

(1)(2)-1（3）見解析

解析試題分析：
(1)根據題意設出橢圓的方程,題目已知離心率即可得到的值,根據橢圓的幾何性質,短軸端點與兩焦點構成的三角形以焦距為底邊長,以短半軸長為高,即該三角形的面積為,再根據之間的關系即可求出的值,得到橢圓的標準方程.拋物線的交點在x軸的正半軸,故拋物線的焦點為橢圓的右頂點,即可求出得到拋物線的方程.
(2)討論直線AB的斜率,當斜率不存在時與y軸沒有交點,所以不符合題意,則斜率存在,設直線AB的斜率為k得到直線AB的方程,聯立直線與拋物線的方程得到AB兩點橫坐標的韋達定理,把向量的橫坐標帶入向量的坐標表示得到之間的關系為反解,帶入,利用(韋達定理)帶入即可得到為定值.
(3)設出P,Q兩點的坐標,則可以得到的坐標,帶入條件得到P,Q橫縱坐標之間的關系,因為P,Q在橢圓上,則滿足橢圓的方程,這兩個條件得到的三個式子相加配方即可證明點S在橢圓上,即滿足橢圓的方程.
試題解析：
（1）由題意，橢圓的方程為，又
解得,∴橢圓的方程是.由此可知拋物線的焦點為,得,所以拋物線的方程為.      4分
（2）是定值,且定值為,由題意知，
直線的斜率存在且不為，設直線的方程為,
則聯立方程組
消去得:且,由,得整理得可得
.      9分
（3）設則
由得 ①
將點坐標帶入橢圓方程得, ② ③
由①+②+③得
所以點滿足橢圓的方程,所以點在橢圓上.   13分
考點：拋物線橢圓根與系數的關系