Question

（2012•湛江二模）某市為了解今年高中畢業生的身體素質狀況，從本市某校高中畢業班中抽取一個班進行實心球測試，成績在8米及以上的為合格．把所得數據進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知第一小組為[5，6），從左到右前5個小組的頻率分別為0.06，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小組的頻數是6．
（1）求這次實心球測試成績合格的人數；
（2）用此次測試結果估計全市畢業生的情況．若從今年的高中畢業生中隨機抽取兩名，記X表示兩人中成績不合格的人數，求X的分布列及數學期望；
（3）經過多次測試后，甲成績在8～10米之間，乙成績在9.5～10.5米之間，現甲、乙各投一次，求甲投得比乙遠的概率．

Answer 1

分析：（1）第6小組的頻率為：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，此次測試總人數為

6

0.12

=50人，由此能求出這次實心球測試成績合格的人數．
（2）X=0，1，2，此次測試中成績不合格的概率為

15

50

=

3

10

，由X～B（2，

3

10

），能求出X的分布列和數學期望．
（3）設甲、乙各投擲一次的成績為x，y米，由基本事件滿足的區域為

8≤x≤10 9.5≤y≤10.5

，“甲投得比乙遠的概率”滿足的區域為x＞y，由幾何概型能求出結果．

解答：解：（1）第6小組的頻率為：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，
此次測試總人數為

6

0.12

=50人，
∴第4，5，6組成績均合格，人數為（0.28+0.30+0.12）×50=35（人）．
（2）X=0，1，2，此次測試中成績不合格的概率為

15

50

=

3

10

，
∴X～B（2，

3

10

），
P（X=0）=(

7

10

)2，
P（X=1）=

C

1 2

(

7

10

)(

3

10

 )=

21

50

，
P（X=2）=(

3

10

)2=

9

100

，
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	49 100	21 50	9 100

∴EX=2×

3

10

=

3

5

．
（3）設甲、乙各投擲一次的成績為x，y米，
由基本事件滿足的區域為

8≤x≤10 9.5≤y≤10.5

，
“甲投得比乙遠的概率”滿足的區域為x＞y，（如圖）
∴由幾何概型知P(A)=

1 2 × 1 2 × 1 2

1×2

=

1

16

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．