Question

【題目】如圖，幾何體EF﹣ABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．

（Ⅰ）求證：AC⊥FB

（Ⅱ）求二面角E﹣FB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結合線面垂直的判定定理可證得AC⊥平面FCB，據此有AC⊥FB．

(Ⅱ)建立空間直角坐標系，結合半平面的法向量可得二面角E﹣FB﹣C的大小為.

試題解析：

（Ⅰ）證明：由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，

∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，

∵四邊形CDEF為正方形．∴DC⊥FC

由DC∩AD=D ∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC

又∵四邊形ABCD為直角梯形，

AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4

∴， ，則有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC

由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．

（Ⅱ）解：由（I）知AD，DC，DE所在直線相互垂直，故以D為原點，以的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz…

可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），

E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），

由（Ⅰ）知平面FCB的法向量為

∵， …

設平面EFB的法向量為則有即

令則

設二面角E﹣FB﹣C的大小為θ，有圖易知為銳角

所以二面角E﹣FB﹣C的大小為…