Question

若f（x）=x³+3ax²+3[（a+2）x+1]既有極大值又有極小值，則a的取值范圍是

a＜-1或a＞2

．

Answer 1

分析：先求導，利用函數既有極大值又有極小值，則說明f'（x）=0有兩個不同的根，然后確定a的取值范圍．

解答：解：函數的導數為f'（x）=3x²+6ax+3（a+2）．
因為函數f（x）既有極大值又有極小值，則f'（x）=0有兩個不同的根．
即判別式△＞0，即36a²-4×3×3（a+2）＞0，
所以a²-a-2＞0，解得a＞2或a＜-1．
故答案為：a＞2或a＜-1．

點評：本題主要考查函數的極值和導數之間的關系，將條件轉化為f'（x）=0有兩個不同的根，是解決本題的關鍵．