Question

(13分)如圖，四棱錐的底面是正方形，，點在棱上.
（Ⅰ）求證：平面；   
（Ⅱ）當且為的中點時,求四面體體積.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）四面體體積為。

(I)根據面面垂直的判定定理，只須證明即可.
（II）.
（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，……….1
∵，
∴PD⊥AC，……………………………………….3
∴AC⊥平面PDB，……………………………….4

∴平面………………………..6
（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接OE，…………………………7
∵O，E分別為DB、PB的中點，
　 　∴OE//PD，
∴OE//PAD，…………………………………………8
∴……………………….9
…………………………..10
過O作OF⊥AD于F,則OF⊥PAD且OF=………11
∴
∴ 四面體體積為……………………………13.