Question

設雙曲線C：-=1（a，b＞0），R₁，R₂是它實軸的兩個端點，l是其虛軸的一個端點．已知其一條漸近線的一個方向向量是（1，），△lR₁R₂的面積是，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且⊥．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程，并指明是何種曲線．

Answer 1

解：（1）由題意，漸近線的一個方向向量是（1，），∴雙曲線的漸近線方程為y=±x，則有b=a，c=2a
又△lR₁R₂的面積是，故×2a×b=，得a=1，b=，c=2（3分）
所以雙曲線C的方程為．（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=kx+m與雙曲線聯立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0
由題意3-k²≠0，且 （4分）
又由⊥知x₁x₂+y₁y₂=0
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
所以+k²×+km×+m²=0
化簡得2m²-3k²=3①
由△＞0可得k²＜m²+3②
由①②可得2m²-3k²=3 （6分）
故點P的軌跡方程是2y²-3x²=3（x≠±），其軌跡是雙曲線 （8分）
分析：（1）根據漸近線的一個方向向量是（1，），可得雙曲線的漸近線方程為y=±x，從而有b=a，c=2a，利用△lR₁R₂的面積是，即可求得雙曲線C的方程；
（2）直線AB：y=kx+m與雙曲線聯立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0，利用韋達定理及⊥知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得點P的軌跡方程．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是直線與雙曲線方程聯立，利用韋達定理進行求解．