Question

設雙曲線C:-y²=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B.

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;

(2)設直線l與y軸的交點為P,且=,求a的值.

Answer 1

1、離心率e的取值范圍為(,)∪(,+∞).

2、a=.

解析:

(1)由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組有兩個不同的實數解,消去y并整理得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.                                                   ①

所以

解得0<a<且a≠1.

雙曲線的離心率e==,

∵0<a<且a≠1,

∴e>且e≠,即離心率e的取值范圍為(,)∪(,+∞).

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),P(0,1),

∵=,

∴(x₁,y₁-1)=(x₂,y₂-1).

由此得x₁=x₂.

由于x₁、x₂都是方程①的根,且1-a²≠0,所以x₂=-,x₂²=-.

消去x₂得-=.

又a>0,所以a=.