Question

已知橢圓4x²+3y²=3，拋物線的開口向上，且其頂點在橢圓C的中心，焦點為橢圓的一個焦點F．點P為拋物線上的一點，PC垂直于直線y=-

1

2

，垂足為C，已知直線AB垂直PF分別交x、y軸于A、B．
（Ⅰ）求使△PCF為等邊三角形的點P坐標．
（Ⅱ）是否存在點P，使P平分線段AB，若存在求出點P，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：由題意知y2+

x2

( 3 2 )2

=1，F(0，

1

2

)．拋物線方程為x²=2y，設P(x0，

1

2

x02)．
（Ⅰ）由題設知|PF|=|PC|，∠CFO=∠PFC=60°．故|x0|=|CF|sin60°=|PC|sin60°=(

1

2

x02+

1

2

)sin60°，所以P(±

3

3

，

1

6

)或P(±

3

，

3

2

)．
（Ⅱ）kPC=

1 2 x02- 1 2

x0

=

x02-1

2x0

，由PF⊥AB知，kAB=-

2x0

x02-1

，則AB：y=-

2x0

x02-1

(x-x0)+

1

2

x02．由此可知存在點P，使P平分線段AB．

解答：解：由4x²+3y²=3得，y2+

x2

( 3 2 )2

=1，
所以F(0，

12-( 3 2 )2

)，即F(0，

1

2

)．
則

p

2

=

1

2

，即p=1，故拋物線方程為x²=2y，即y=

1

2

x2．可設P(x0，

1

2

x02)．（3分）
（Ⅰ）由

p

2

=

1

2

知，y=-

1

2

是拋物線x²=2y的準線，故|PF|=|PC|，由△PCF為等邊三角形知，∠CFO=∠PFC=60°．
故|x0|=|CF|sin60°=|PC|sin60°=(

1

2

x02+

1

2

)sin60°，即|x0|=

3

4

(x02+1)，即

3

x02-4|x0|+

3

=0，解得|x0|=

3

3

或|x0|=

3

．即x0=±

3

3

或x0=±

3

．
故P(±

3

3

，

1

6

)或P(±

3

，

3

2

)．（6分）
（Ⅱ）kPC=

1 2 x02- 1 2

x0

=

x02-1

2x0

，由PF⊥AB知，kAB=-

2x0

x02-1

，則AB：y=-

2x0

x02-1

(x-x0)+

1

2

x02．
令y=0得，

2x0

x02-1

(x-x0)=

1

2

x02，即x=

1

4

(x03+3x0)，A(

1

4

(x03+3x0)，0)，
令x=0得，y=-

2x0

x02-1

(-x0)+

1

2

x02，即y=

x02(x02+3)

2(x02-1)

，B(0，

x02(x02+3)

2(x02-1)

)．（10分）
若P平分線段AB，則有

1

4

(x03+3x0)=2x0且

x02(x02+3)

2(x02-1)

=x02，
解得x₀²=5，即x0=±

5

．
故存在點P(±

5

，

5

2

)，使P平分線段AB．（13分）

點評：圓錐曲線的綜合大題，主要考查解析幾何的有關知識，以及分析問題與解決問題的能力．除了2004年出現了兩道大題（其中有一題以圓錐曲線的應用題形式出現）外，基本上是每年一道大題．除了2006年以函數的面貌，基本上還是以常態的形式出現，即以直線與圓錐曲線的位置關系的形式出現．值得引起重視的一個現象是，經常出現一條或幾條直線與兩種圓錐曲線（包括圓）的位置關系問題，同時要注意其與平面向量以及導數的知識的綜合命題．