Question

已知x，y滿足約束條件
(1)求目標函數z＝2x－y的最大值和最小值；
(2)若目標函數z＝ax＋y取得最大值的最優解有無窮多個，求a的值；
(3)求z＝x²＋y²的取值范圍．

Answer 1

（1）z_max＝2×5－3＝7，z_min＝2×1－＝－.
（2）a＝.
（3）[，34]

解：(1)作出不等式組表示的可行域如圖：

作直線l：2x－y＝0，并平行移動使它過可行域內的B點，此時z有最大值；過可行域內的C點，此時z有最小值，
解，得A(1，)．
解，得B(5,3)．
解，得C(1，)．
∴z_max＝2×5－3＝7，z_min＝2×1－＝－.
(2)一般情況下，當z取得最大值時，直線所經過的點都是唯一的，但若直線平行于邊界直線，即直線z＝ax＋y平行于直線3x＋5y＝30時，線段BC上的任意一點均使z取得最大值，此時滿足條件的點即最優解，有無數個．
又k_BC＝－，∴－a＝－，∴a＝.
(3)z＝x²＋y²，則為(x，y)與原點(0,0)的距離，結合不等式的區域，易知A點到原點距離最小為，最大值為|OB|、|OC|、原點O到直線3x＋5y＝30距離三者之一，計算得，最大值為|OB|＝.故z＝x²＋y²的取值范圍是[，34]．