Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若是棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據題中的條件，利用線面垂直的判定定理，可證得平面，進而證得，利用勾股定理，可證得，利用線面垂直的判定定理，可證得平面，證得結果；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，建立空間直角坐標系，利用空間向量，求得線面角的正弦值，得到結果.

（Ⅰ）證明：∵在三棱柱中，，，又，

∴平面，又平面，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，

又，∴平面.

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，直線，，兩兩互相垂直，如圖，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

設平面的法向量，

則，所以，，

取，則，

又，設直線與平面所成角為，

則 .

∴直線平面所成角的正弦值.

解法二：由（Ⅰ）知，直線，，兩兩互相垂直，以為原點，分別以、、所在直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，

，，

設平面的法向量，

則，所以，，

取，則，

又，設直線與平面所成角為，

則 .

∴直線平面所成角的正弦值.