Question

定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區間[a，b]上存在x0（a＜x₀＜b），滿足f（x₀）=，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x₀是它的一個均值點．如y=x⁴是[-1，1]上的平均值函數，0就是它的均值點．
（1）判斷函數f（x）=-x²+4x在區間[0，9]上是否為平均值函數？若是，求出它的均值點；若不是，請說明理由；
（2）若函數f（x）=-x²+mx+1是區間[-1，1]上的平均值函數，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由定義可知，關于x的方程-x²+4x=在（0，9）內有實數根時，
函數f（x）=-x²+4x在區間[0，9]上是平均值函數．
解-x²+4x=?x²-4x-5=0，可得x=5，x=-1．
又-1∉（0，9），
∴x=5，
所以函數f（x）=-x²+4x在區間[0，9]上是平均值函數，5是它的均值點．
（2）∵函數f（x）=-x²+mx+1是區間[-1，1]上的平均值函數，
∴關于x的方程-x²+mx+1=在（-1，1）內有實數根．
由-x²+mx+1=?x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必為均值點，即-1＜m-1＜1?0＜m＜2．
∴所求實數m的取值范圍是0＜m＜2．
分析：（1）關于x的方程-x²+4x=在（0，9）內有實數根時，函數f（x）=-x²+4x在區間[0，9]上是平均值函數，下面只需解方程-x²+4x=的根即可得出結論；
（2）函數f（x）=-x²+mx+1是區間[-1，1]上的平均值函數，故有-x²+mx+1=在（-1，1）內有實數根，求出方程的根，讓其在（-1，1）內，即可求出實數m的取值范圍．
點評：本題主要是在新定義下考查二次方程根的問題．在做關于新定義的題目時，一定要先認真的研究定義理解定義，再按定義做題．