Question

【題目】如圖，已知分別是的外心、內心，與不重合，在的內部或邊上，且或者在的內部或者，試求出使得等式成立的一個充要條件（用關于的內角的條件表示）。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

所求的充要條件是或

充分性。

如圖，若，則，

。

從而，。

所以，四點共圓.

故.

于是，.

若，則在的外部，如圖，由題意知必有。由對稱性可知三點共線，，且在線段上.顯然

.

故.

必要性。

設，在的內部或邊上。下面分兩種情形討論.

1.若，則由對稱性得三點共線，。因為在的內部或邊上，所以，必在線段上（如圖）.

于是，。

代入，解得.

2.若在的內部，則為銳角三角形.下證：必有，從而，。為此分三種情形討論.

ⅰ.若，則，這與為銳角三角形矛盾.

ⅱ.若，則，

.

所以，.

從而，在的外接圓的內部（如圖），故。解得，這與矛盾.

ⅲ.若，類似ⅱ的推論過程得到矛盾.

故，.

綜上所述，的一個充要條件是或.