Question

(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P--ABCD中，PB底面ABCD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．點E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求異面直線PA與CD所成的角；
(2)求證：PC∥平面EBD；
(3)求二面角A—BE--D的余弦值．

Answer 1

(1)∠PAF=60°；（2）連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG，由成比例線段得PC∥EG，
又EG平面EBD，PC?平面EBD.∴PC∥平面EBD；
（3）二面角A-BE-D的余弦值為。

試題分析：(1)∵PB⊥底面ABCD，在直角梯形ABCD中AB=AD=3，∴BC=6 取BC的中點F，連結(jié)AF，則AF∥CD.
∴異面直線PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF（或其補角），在△PAF中，AF=PA=PF=3，
∴∠PAF=60°         ………………3分
（2）連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG，∵又∴∴PC∥EG
又EG平面EBD，PC?平面EBD.∴PC∥平面EBD     ……………7分
（3）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB,∴AD⊥平面EAB.
作AH⊥BE,垂足為H,連結(jié)DH,則DH⊥BE,
∴∠AHD是二面角A-BE-D的平面角.在△ABE中,BE= AH=
∴tan∠AHD=, 所以，二面角A-BE-D的余弦值為      ……………12分
點評：典型題，立體幾何中平行、垂直關系的證明及角的計算問題是高考中的必考題，注意遵循“一作、二證、三算”的解題步驟。