Question

設(shè)橢圓C:的離心率，右焦點(diǎn)到直線1的距離，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程;
（2）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn)，證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值.

Answer 1

(1);(2)．

解析試題分析：
解題思路：(1)利用離心率及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用求解.
規(guī)律總結(jié)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般綜合性強(qiáng).一般思路是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，整理得關(guān)于的一元二次方程，常用“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行求解.
試題解析：（1）由得，即
由右焦點(diǎn)到直線的距離為
得，解得，
所以橢圓C的方程為.                       
（2）設(shè)A B
直線AB的方程為y=kx+m與橢圓聯(lián)立消去y得
                          
∵OA⊥OB,

即
                       
整理得                            
所以O(shè)到直線AB的距離
∵OA⊥OB，∴
當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)取“=”
由得      
.
即弦的長度最小值是.
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.