Question

6．已知數列{a_n}的前n項和為S_n=2n²-30n．
（1）這個數列是等差數列嗎？求出它的通項公式；
（2）求使得S_n最小的序號n的值．

Answer 1

分析 （1）n≥2，${S_{n-1}}=2{（n-1）^2}-30（n-1）$，a_n=S_n-S_n-1=4n-32，由此能求出結果．
（2）${S_n}=2{n^2}-30n=2{（n-\frac{15}{2}）^2}-\frac{225}{2}$，由此能求出結果．

解答 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和為S_n=2n²-30n．
∴n≥2，${S_{n-1}}=2{（n-1）^2}-30（n-1）$，
a_n=S_n-S_n-1=4n-32，
n=1時，a₁=S₁=-28，也適合上式，
∴這個數列的通項公式為a_n=4n-32．
又∵n≥2，a_n-a_n-1=（4n-32）-[4（n-1）-32]=4，
∴{a_n}是等差數列．
（2）${S_n}=2{n^2}-30n=2{（n-\frac{15}{2}）^2}-\frac{225}{2}$，
又∵n是正整數，
∴n=7或8時，S_n最小，
最小值是S₇=S₈=2×$\frac{1}{4}$-$\frac{225}{2}$=-112．

點評 本題考查等差數列的判斷，考查等差數列的通項公式的求法，考查等差數列的前n項和取最小值時項數的求法，是中檔題．