Question

設向量

m

=（sinB，

3

cosB），

n

=（

3

cosC，sinC），且A、B、C分別是△ABC的三個內角，若

m

•

n

=1+cos（B+C），則A=（　　）

• A、

  5π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  2π

  3

• D、

  π

  6

Answer 1

分析：根據平面向量的數量積的運算法則化簡已知的等式，由A+B+C=π，得到B+C=π-A，利用誘導公式得到sin（B+C）=sinA，代入化簡后的式子中，得到一個關系式，記作①，根據同角三角函數間的基本關系得到另一個關系式，記作②，聯立①②，求出sinA和cosA的值，根據A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．

解答：解：由A+B+C=π，得到B+C=π-A，
則

m

•

n

=sinB•

3

cosC+

3

cosB•sinC=

3

sin（B+C）=1+cos（B+C），
即

3

sinA=1-cosA，變形得：

3

sinA+cosA=1①，又sin²A+cos²A=1②，
由①得：cosA=1-

3

sinA③，把③代入②得：2sinA（2sinA-

3

）=0，
解得：sinA=0（舍去），sinA=

3

2

，
將sinA=

3

2

代入③得：cosA=1-

3

2

=-

1

2

，又A∈（0，π），
則A=

2π

3

．
故選C

點評：此題考查了平面向量的數量積的運算，以及同角三角函數間的基本關系．在求出sinA的值后，一定注意再求出cosA的值，由cosA的值為負數得到A為鈍角，這是學生容易出錯的地方．