Question

在外接圓直徑為1的△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA），且

m

∥

n

，

m

≠

n

．
（1）求sinA+sinB的取值范圍；
（2）若abx=a+b，試確定實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA），且

m

∥

n

，結合正弦定理，和差角公式及正弦型函數的圖象和性質，可得sinA+sinB的取值范圍；
（2）若abx=a+b，可得x=

a+b

ab

，結合正弦定理及（1）中結論，可得實數x的取值范圍

解答：解：（1）∵向量

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA），且

m

∥

n

，
∴a•cosA=b•cosB
即sinA•cosA=sinB•cosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π
又∵

m

≠

n

．
∴2A+2B=π
∴A+B=

π

2

∴sinA+sinB=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）
∵A∈（0，

π

2

）
∴A+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

）
∴

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]
∴sinA+sinB的取值范圍為（1，

2

]；
（2）若abx=a+b，則x=

a+b

ab

=

sinA+sinB

sinA•sinB

=

sinA+cosA

sinA•cosA

令t=sinA+cosA，由（1）得t∈（1，

2

]
則x=

t

t2-1 2

=

2t

t2-1

=

2

t- 1 t

≥

2

2 - 1 2

=2

2

故實數x的取值范圍為[2

2

，+∞）

點評：本題考查的知識點是正弦型函數的函數的圖象和性質，正弦定理，向量平行，是向量與三角函數的綜合應用，難度中檔．