Question

某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x²．記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤是y（元）．
（Ⅰ）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大．

Answer 1

分析：（I）由題易知每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20（1+x），則月平均銷售量為a（1-x²）件，利潤則是二者的積去掉成本即可．
（II）由（1）可知，利潤函數(shù)是一元三次函數(shù)關(guān)系，可以對(duì)其求導(dǎo)解出其最值．

解答：解：（I）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20（1+x），月平均銷售量為a（1-x²）件，
則月平均利潤y=a（1-x²）•[20（1+x）-15]，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=5a（1+4x-x²-4x³）．
故函數(shù)關(guān)系式為：y=5a（1+4x-x²-4x³）（0＜x＜1）
（II）由y'=5a（4-2x-12x²）=0得x=

1

2

或x=-

2

3

（舍）
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí) y'＞0；

1

2

＜x＜1時(shí) y'＜0，
∴函數(shù)y=5a（1+4x-x²-4x³）（0＜x＜1）在x=

1

2

取得最大值
故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1+

1

2

)=30元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大

點(diǎn)評(píng)：利潤最值問題是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用的重點(diǎn)考查內(nèi)容，要知道利潤=收入-成本．并且，一元三次函數(shù)求最值，通常對(duì)其求導(dǎo)解出其最值