Question

某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售2000件．通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術的含金量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x²．設改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是y（元）．
（1）當銷售價提高的百分率為0.1時，月利潤是多少？
（2）寫出y與x的函數關系式；
（3）改進工藝后，確定該紀念品的售價，使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大．

Answer 1

分析：（1）由已知中如果產品的銷售價提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x²．可得銷售價提高的百分率為0.1時月平均銷售量，結合每件產品的利潤可得答案．
（2）由已知中如果產品的銷售價提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x²．計算出改進工藝后，每件產品的銷售價為20（1+x），月平均銷售量為2000（1-x²），整理可得y與x的函數關系式；
（3）根據（2）的解析式，利用結合x的取值范圍，利用導數法易得月平均利潤最大值．

解答：解：（1）當銷售價提高的百分率為0.1時，銷售價是22元
月平均銷售量減少的百分率為0.01，
月平均銷售量為2000（1-0.01）（元）                 …（1分）
月利潤是：2000（1-0.01）（22-15）=13860元     …（2分）
（2）改進工藝后，每件產品的銷售價為20（1+x），月平均銷售量為2000（1-x²）
件，則月平均利潤2000（1-x²）[20（1+x）-15]（元），
∴y與x的函數關系式為：y=2000（1-x²）[20（1+x）-15]（0＜x＜1），y=10000（-4x³-x²+4x+1）…（4分）
（3）由y'=10000（4-2x-12x²）=0，得x1=

1

2

，x=-

2

3

（舍），
當0＜x＜

1

2

時y'＞0；

1

2

＜x＜1時y'＜0，∴函數在x=

1

2

取得最大值．
故改進工藝后，產品的銷售價為20(1+

1

2

)=30元時，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大．…（8分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，利用導數求閉區間上函數的最值工，其中根據已知條件確定函數的解析式是解答本題的關鍵．