Question

已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：
（1）f(x)為奇函數；
（2）f(x)在(－1，1)上單調遞減.

Answer 1

見解析

【錯解分析】本題知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想.對函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理能力要求較高. 如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得. 對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=－y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是解題的焦點.
【正解】(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.
∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數.
(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.
令0<x₁<x₂<1,則f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)＋f(－x₁)=f()
∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，
∴>0,又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0
∴x₂－x₁<1－x₂x₁,∴0<<1,
由題意知f()<0，即f(x₂)<f(x₁).
∴f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上為減函數.
【點評】對于抽象函數函數性質的討論、計算和證明，解題技巧、綜合運用各類知識和技能的要求非常高；特別是最近幾年，以一種“定義新函數”的題型出現，突出考核學生的學習能力、應用能力和創新能力，不特別強調解題的技巧。具體的差別，可以通過例題的練習和講解來得以區分。總之，關于抽象函數題的難度都是相當高的