Question

【題目】已知函數.

（1）求證：函數有唯一零點；

（2）若對任意，恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出 ，先證明在區間上為增函數，又，，所以在區間上恰有一個零點，而在上恒成立，在上無零點，從而可得結果；（2））設的零點為，即. 原不等式可化為，令若，可得，等式左負右正不相等，若，等式左正右負不相等，只能，，即求所求.

試題解析：（1） ，

易知在上為正，因此在區間上為增函數，又，

因此，即在區間上恰有一個零點，

由題可知在上恒成立，即在上無零點，

則在上存在唯一零點.

（2）設的零點為，即. 原不等式可化為，

令，則，由（1）可知在上單調遞減，

在上單調遞增，故只求，，設，

下面分析，設，則，

可得，即

若，等式左負右正不相等，若，等式左正右負不相等，只能.

因此，即求所求.