Question

若關于x的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的兩個實數根x₁，x₂滿足x₁≤0≤x₂≤1，則a²+b²+4a的最小值和最大值分別為（　　）

• A、

  1

  2

  和5+4

  5

• B、-

  7

  2

  和5+4

  5

• C、-

  7

  2

  和12
• D、-

  1

  2

  和15-4

  5

Answer 1

分析：由題設條件，令f（x）=x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1，由關于的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的兩個實數根x₁，x₂滿足x₁≤0≤x₂≤1，可得f（0）≤0，f（1）≥0，由此得出a，b所滿足的關系，再求a²+b²+4a的最小值和最大值，選出正確選項

解答：解：令f（x）=x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1，函數開口向上，又關于的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的兩個實數根x₁，x₂滿足x₁≤0≤x₂≤1，
得

f(0)≤0 f(1)≥0

，即a²+b²+2a-4b+1≤0且a+b+1≥0
即（a+1）²+（b-2）²≤4且a+b+1≥0
表示以（-1，2）為圓心，半徑小于等于2的圓平面與a+b+1=0右上部分平面區域的重疊部分
又a²+b²+4a=（a+2）²+b²-4
只要在滿足條件區域中求點（a，b）到點（-2，0）距離最大最小即可
1）求最小
最小值為（-2，0）到a+b+1=0距離的平方減去4，得-

7

2

2）求最大
最大值為（-2，0）與（-1，2）距離

5

原式最大=（

5

+2）²-4=5+4

5

故選B

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，解題的關鍵是掌握好一元二次方程根的分布及與系數的關系，利用二次函數的知識進行轉化求出最大值與最小值